유클리드 기하학은 고대 그리스의 수학자 유클리드로부터 유래된 수학적 체계로, 그는 기하학 교과서에서 '원소'에 대해 설명했습니다. 유클리드의 접근법은 직관적으로 매력적인 가정의 작은 세트를 가정하고 이들로부터 다른 많은 명제를 추론하는 데 있다. 유클리드 결과의 대부분은 앞서 기술되어 있었으나 유클리드는 이러한 명제를 각각의 결과가 공리와 이전에 증명된 정리로부터 증명되는 논리 시스템으로 정리한 최초의 사람이었다.
엘리먼트는 최초의 공리 시스템과 수학적 증명의 첫 번째 예로서 아직도 중학교, 고등학교에서 가르치고 있는 평면 기하학에서 시작됩니다. 3차원의 입체 기하학으로 나아가는 엘리먼트의 대부분은 오늘날에는 대수와 수 이론이라고 불리는 결과를 기하학적 언어로 설명하고 있습니다.
2000년 이상 동안 형용사 유클리드 필요 없었습니다. 왜냐하면 다른 종류의 기하학은 생각할 수 없었기 때문입니다. 유클리드의 공리는 매우 직관적으로 명백해 보였기 때문에 평행 가설의 가능성을 제외하고, 그것들로부터 증명된 정리는 절대적, 종종 형이상학적인 의미에서 진실한 것으로 간주되었다. 그러나 오늘날에는 다른 많은 자기 정합성 없는 비유클리드 기하학이 알려져 있으며 19세기 초에 발견된 최초의 기하학이 알려져 있다. 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성이론의 함의는 물리적 공간 자체가 유클리드 공간은 짧은 거리에서만 좋은 근사치라는 것이다.
유클리드 기하학은 합성 기하학의 한 예로 점이나 선과 같은 기하학적 물체의 기본적인 성질을 설명하는 공리부터 그 물체에 관한 명제까지 논리적으로 진행된다. 이는 거의 2000년 후에 르네 데카르트에 의해 도입된 해석기하학과는 대조적이다. 르네 데카르트는 좌표를 사용하여 기하학적 성질을 대수 공식으로 표현한다.
공간구조의 설명으로서 유클리드는 그의 공리가 물리적 현실에 관한 자명한 진술이라고 믿었다. 유클리드의 증명은 유클리드의 기본적인 공리, 특히 도형의 특정 움직임이 측면의 길이나 내부 각도와 같은 기하학적 특성, 이른바 유클리드 운동을 변화시키지 않는다는 가정에 의존하고 있다. 도형의 변환, 반사, 회전을 포함한다. 공간의 물리적인 설명으로 선 긋기 가정은 공간에 구멍이나 경계가 없음을 주장합니다. 직각 같은 가정 공간은 등방성이며 도형은 합동성을 유지하면서 임의의 장소로 이동할 수 있음을 나타내고 평행 가정은 공간이 평평함을 가정합니다. 알베르트 아인슈타인의 상대성이론은 이 견해를 대폭 수정합니다.
유클리드에 의해 최초로 정식화된 공리의 모호한 특성으로 인해 공간이 무한한지 여부나 그 토폴로지가 무엇인지 등 서로 다른 코멘테이터가 다른 공간구조에 미치는 영향에 대해 의견을 달리할 가능성이 있다. 시스템의 현대적이고 보다 엄격한 개혁은 통상 이러한 문제의 보다 깨끗한 분리를 목적으로 하고 있습니다. 보다 현대적인 접근 정신으로 유클리드의 공리를 해석하면 무한 공간 또는 유한 공간과 일치하며 다양한 토폴로지와 일치한다.
유클리드는 때로는 유한선과 무한선을 명시적으로 구별한다. 하지만 그는 통상 필요하지 않은 한 그런 구별을 하지 않았습니다. 예를 들어 일부 코멘테이터는 공간이 무한함을 암시하듯 임의의 반경을 갖는 원의 존재를 해석하지만 이 가정은 무한행을 명시적으로 참조하지 않습니다. 이전에 소수파의 개념은 일렉트릭스쿨에 의해 광범위하게 논의되었으나 제노의 패러독스와 같은 보편적 만족으로 해결되지 않은 패러독스가 발생하여 그것을 확고한 논리적 기반으로 삼지는 못했습니다. 유클리드는 무한소가 아닌 고갈의 방법을 사용했습니다.
이후 프로 클래스와 같은 고대 해설자는 무한대에 관한 많은 질문을 증명을 요구하는 문제로 다루었으며, 예를 들어 프로 클래스는 선을 구성하는 짝수점과 홀수점의 경우를 고려한 모순에 기초한 증명을 바탕으로 선의 무한한 가분성을 증명한다고 주장했다. 20세기 변기에 오토 스톨츠, 폴 뒤 보이스 레이몬드, 주세페 베로네제 등은 뉴턴 라이프니츠의 의미로 두 점 사이의 거리가 무한하거나 무한할 수 있는 비 알키 메데스적인 유클리드 기하학 모델에 대해 논란의 여지가 있는 작품을 만들어냈습니다.